Diciembre

CLASE N°13
(2/12/2016)

Prueba de

• Muestras bivariadas
• Diagrama de dispersión
• Correlación
• Covarianza
• Coeficiente de correlación lineal
• Matriz de varianzas y covarianzas
• Probabilidad
• Ideas básicas
• Definición de probabilidad
• Axiomas
• Regla de la suma
• Eventos mutuamente excluyentes
• Eventos complementarios
• Métodos de conteo
• Probabilidad condicional e independencia

CLASE N° 14: EVENTOS INDEPENDIENTES
(07/12/2016)

Sean A y B eventos cualesquiera de un espacio muestral S. Se dice que A y B son independientes si 

P(A|B) = P(A) y P(B|A) = P(B), es decir que el evento A no depende del evento B y el evento B no depende del evento A.

Dado lo anterior entonces se define que:
A y B son eventos independientes si P(A∩B) = P(A) . P(B)

Demostración:

De la definición de probabilidad condicional,

P(A|B) = P(A∩B)/P(B), P(B)≠0

Si A y B son independientes: P(A|B) = P(A).

Si se sustituye en la fórmula de probabilidad condicional:

P(A) = P(A∩B)/P(B)

Se obtiene el la fórmula en la definición 

Dando click en la siguiente imagen, podra ver un video sobre el tema.

CLASE Nº 15

(9/12/2016)

En esta clase nos centramos en la resolución de ejercicios como repaso de la materia.

Ejercicio 1.

En un juego de 40 se reparten 5 cartas al azar a cada jugada a partir de un mato de 40 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que jugador tenga:

A: Un dos, un tres, un cuatro, un cinco del mismo palo

B: 4 cartas del mismo palo

C: Una ronda (3 cartas iguales)

a) P(B)= P (A cualquier palo) ·P (2palo igual A) ·P (3igual palo) ·P (4igual palo) ·P (5igual palo)

    P(B)= (4/40) · (1/39) · (1/38) · (1/37) · (1/36) = 5.06*10^-8

b) C: 4 cartas del mismo palo. {A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

   P(C)= (4/40) · (9/39) · (8/38) · (7/37) = 2.29*10^-4

c) D: Ronda.

    

   P(D)= P(1carta) · P (2da carta= #) · P (3ra carta=#)

   P(D)= (1/40) · (3/39) · (2/38) = 1.01*10^-4

SEGUNDO BIMESTRE

CLASE Nº 1

(14/12/2016)

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

En el material estudiado anteriormente aprendimos a calcular la probabilidad de eventos de un espacio muestral S. En esta unidad estudiaremos reglas para establecer correspondencias de los elementos de S con los números reales, para luego asignarles un valor de probabilidad.

Una variable aleatoria discreta es una modelización teórica de una característica X de tipo discreto, en la que nos quedamos con lo esencial que se obtendrá en un proceso de muestreo.

Recordemos que una característica X es de tipo discreto cuando puede tomar una serie de valores claramente separados x1,………,xk. En una muestra concreta de tamaño n, cada uno de estos valores aparece n1,…..,nk veces (frecuencias absolutas). La frecuencia relativa de cada valor es

fi=ni/n.

Definición Variable Aleatoria

Dando click en la imagen sera redireccionado a un video que le proporcionara más información.

https://www.youtube.com/watch?v=naEqsDvkIXs

 

CLASE Nº 2
(16/12/2016)

MEDIA Y VARIANZA DE LAS VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS.

MEDIA

Definición. El valor esperado (esperanza matemática) de una variable aleatoria continua X se define como:

Puede suceder que esta integral (impropia) no converja. Por lo tanto, decimos que E(x) existe si y sólo si:

PROPIEDADES:

1. E(c) =c ; c=costante

2. E(x+y) = E(x) + E(y)  ; x,y=v.a.d

3. E(cx) =cE(x)

4. Si y=ax+b, entonces:

     E(y)=E(ax+b)

     E(y)=E(ax)+E(b)

     E(y)=aE(x)+b

Ejemplo. Supongamos que la variable aleatoria X es el  tiempo (en minutos) durante el cual un dispositivo eléctrico se utiliza a su máxima carga durante cierto periodo de tiempo.  Supongamos que X es una v.a. continua cuya f.d.p. está dada por:

VARIANZA

Definición. Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidades f(x). Definimos la varianza de X como:

Suponemos de antemano que existe la integral.  Desarrollando la expresión

E[(x-m)²] y usando las propiedades del valor esperado obtenemos:

s² = Var(x) = E(x²) - m²

^PROPIEDADES:

1. V(c)=o ; c=constante

2. V(cx)= c^2 * V(x)

3. V(x+y) = V(x) + V(y)

4. Si y=ax+b , entonces

        V(y)= a^2*V(x)

Ejemplo. Supongamos que X es una variable aleatoria continua con  f.d.p:

Calcular el valor de la varianza de la variable aleatoria X.

Debido a la simetría de la función de densidad, se tiene que:

Por lo tanto: Var(x) = 1/6 - 0² = 1/6

CHEVISHEV

Es un resultado que ofrece una cota inferior a la probabilidad de que el valor de una variable aleatoria con varianza finita este a una cierta distancia de su esperanza matemática. La desigualdad recibe este a una cierta distancia de su esperanza matemática. La desigualdad recibe su nombre del matemático ruso Chebyshov.

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

Una variable aleatoria es continua si sus probabilidades están dadas por área bajo una curva. La curva se llama función de densidad de probabilidad para una variable aleatoria (v.a)

La función de densidad también es llamada distribución de probabilidad.

FUNCIÓN DE DENSIDAD

 La función de densidad de una variable aleatoria X permite trasladar la medida de probabilidad o "suerte" de realización de los sucesos de una experiencia aleatoria a la característica numérica que define la variable aleatoria. 

Designando por f a la función de densidad X, distinguiremos el caso discreto, donde los posibles valores de X forman un conjunto discreto (finito o numerable), del continuo, donde el recorrido de la variable aleatoria es un intervalo de la recta real:

Si X es discreta su función de densidad se define por

F(x) = p(X=x), cualquiera que sea el valor x

En el caso de que X sea continua su función de densidad debe permitir expresar F, la función de distribución de probabilidad de X, en forma integral: 

F(x) = p (X <= x) = integral de f(x) dx, cualquiera que sea el valor x, donde f: R -> R es una función no negativa e integrable.

Se debe cumplir que:

1) Para todo x / f(x) => 0

2) Integral de menos infinito a mas infinito de f(x)dx=1

CLASE Nº 3

(21/12/2016)

Función de distribución

Sea X una variable aleatoria discreta cuyos valores suponemos ordenados de menor a mayor. Llamaremos función de distribución de la variable X, y escribiremos F(x) a la función:

F(x) = p (X ≤ x)

La función de distribución asocia a cada valor de la variable aleatoria la probabilidad acumulada hasta ese valor.

Ejemplo:

Calcular la función de distribución de probabilidad de las puntuaciones obtenidas al lanzar un dado.

x	p i
x <1	0
1≤ x < 2	1/6
2≤ x < 3	2/6
3≤ x < 4	3/6
4≤ x < 5	4/6
5≤ x < 6	5/6
6≤ x	1

Por definición, deducimos que si (x1, x2, ….,xn)  son los valores que puede tomar la variable   entonces:

Ya que esta suma es, en realidad, la probabilidad del suceso seguro.