Febrero

CLASE N° 12
(01/02/2017)

DISTRIBUCIONES DE MUESTREO

N: tamaño de la población

n: tamaño de la muestra

Definición

A la ley de probabilidad que sigue un estadístico se le denomina DISTRIBUCIÓN DE MUESTREO

Distribución de muestreo de la media 

Suponemos que se tiene una muestra X1, X2,...;Xn de una población que tiene media μ y varianza σ^2. A partir de una muestra calculamos el promedio x, entonces:

1. E(x)=μ

2. V(x)=σ^2/n

Teorema del límite central

Si una población tiene media μ y desviación típica σ, y tomamos muestras de tamaño n (n > 30, ó cualquier tamaño si la población es "normal"), las medias de estas muestras siguen aproximadamente la distribución:

Distribución de muestreo de la proporción

Supongamos que se tiene una muestra aleatoria X1, X2,...,Xn proveniente de una población que sigue una ley Bernoulli Be(p), definimos

 donde Xi=1 con probabilidad p

       y  Xi=0 con probabilidad 1-p

           i=1, 2, 3,..., n

entonces y cuenta el número de éxitos en n intentos

la proporción de éxitos de la muestra es:

La variable aleatoria y sigue una distribución binomial Bi(n,p) Por lo que:

y se cumple:

por el Teorema del Límite Central

Por lo tanto:

CLASE N° 13

(03/02/2017)

En este día las clases en la facultad de Ingeniería civil y ambiental fueron suspendidas por permiso de la misma facultad.

CLASE N°14

(08/02/2917)

DISTRIBUCIÓN DE MUESTREO DE LA VARIANZA

Esta distribución se la obtiene de la distribución gamma. Tiene forma tipo campana con sesgo positivo. Se puede demostrar que si X es una variable aleatoria con distribución normal, entonces X2 es una variable aleatoria con distribución ji-cuadrado. Este hecho explica la importancia de la distribución ji-cuadrado en problemas de muestreo de poblaciones con distribución normal. Una aplicación práctica es la estimación de la varianza poblacional.

GRÁFICO DE LA DISTRIBUCIÓN JI-CUADRADO

La forma específica de esta distribución de probabilidad depende del valor de ν, el cual es el
parámetro para este modelo con la definición ν = n – 1 y se denomina “grados de libertad”

Algunos valores de la distribución ji-cuadrado están tabulados para ciertos valores de ν y para valores típicos de α con la siguiente definición

ESTIMACION POR INTERVALOS

El nivel de confianza de un intervalo mide la confiabilidad del método utilizado para calcular el intervalo. Un intervalo de confianza de un nivel 100(1  α)% se calcula mediante un método que a la larga dará como resultado que la media poblacional se sitúe en una proporción 1  α todas las veces que se utilice.

CLASE N° 15

(10/02/2017)

Dada una variable aleatoria con distribución Binomial B(n, p), el objetivo es la construcción de un intervalo de confianza para el parámetro p, basada en una observación de la variable que ha dado como valor x. El mismo caso se aplica si estudiamos una Binomial B(1, p) y consideramos el número de veces que ocurre el suceso que define la variable al repetir el experimento n veces en condiciones de independencia.

Existen dos alternativas a la hora de construir un intervalo de confianza para p:

1.- Considerar la aproximación asintótica de la distribución Binomial en la distribución Normal.

2.- Utilizar un método exacto.

Aproximación asintótica

Tiene la ventaja de la simplicidad en la expresión y en los cálculos, y es la más referenciada en la mayoría de textos de estadística. Se basa en la aproximación

que, trasladada a la frecuencia relativa, resulta

Tomando como estadístico pivote

que sigue una distribución N(0, 1), y añadiendo una corrección por continuidad al pasar de una variable discreta a una continua, se obtiene el intervalo de confianza asintótico:

donde zα/2 es el valor de una distribución Normal estándar que deja a su derecha una probabilidad de α/2 para un intervalo de confianza de  (1 − α) · 100 %. Las condiciones generalmente aceptadas para considerar válida la aproximación asintótica anterior son:

El intervalo obtenido es un intervalo asintótico y por tanto condicionado a la validez de la aproximación utilizada. Una información más general sobre los intervalos de confianza asintóticos puede encontrase aquí.

CLASE N° 16

(15/02/2017)

Clase de ejercicios de aplicación y aclaración de fechas de la prueba número 4 y el examen, además se fijó la fecha de entrega de notas finales.

Se realizaron ejercios como el siguiente:

La cotización diaria de una moneda frente al dólar sigue una distribución normal de media y varianza desconocidas, se designan 9 días al azar, la cotización fue
65.3  66.2  65.8  66.0  66.1  64.5  65.2  65.2  67.1  64.2
a) Determine un intervalo de confianza del 99% para la cotización media
b) Con qué confiabilidad se estima la media en un intervalo cuya longitud es 1.116

Después de esto se realizó un trabajo en clase entregado a la Ingeniera el día 17 de Febrero 

CLASE N° 17

(17/02/2017)

Prueba N° 2 del segundo bimestre y examen final de la materia.